3.2 無相関化

布の汚れ部分が画像の色差情報としての特徴を有すると考え，RGB成分の無相関化を行う．RGB成分はそれぞれ通常強い相関関係を有しているので，自己共分散行列の固有値問題を考え，RGB成分の無相関化を行う．まず，対象画像(縦 $\times$ 横画素)の画素値ベクトルの平均ベクトル $\mu$ および自己共分散行列 ${\rm R}_y$ を以下のように定義する．

$\displaystyle \mbox{\boldmath$\mu$}$ $\displaystyle _y$	$\displaystyle \equiv$	$\displaystyle \frac{1}{MN}\sum_{m=0}^{M-1}\sum_{n=0}^{N-1}$ $\displaystyle \mbox{\boldmath$y$}$ $\displaystyle [m,n]$	(17)
$\displaystyle {\rm R}_y$	$\displaystyle \equiv$	$\displaystyle \frac{1}{MN}\sum_{m=0}^{M-1}\sum_{n=0}^{N-1}($ $\displaystyle \mbox{\boldmath$y$}$ $\displaystyle [m,n]-$ $\displaystyle \mbox{\boldmath$\mu$}$ $\displaystyle _y)($ $\displaystyle \mbox{\boldmath$y$}$ $\displaystyle [m,n]-$ $\displaystyle \mbox{\boldmath$\mu$}$ $\displaystyle _y)^T$	(18)

この自己共分散行列 ${\rm R}_y$ の固有値問題を解き，固有値 $\lambda_i$ と固有ベクトルを求める．

$\displaystyle {\rm R}_y$ $\displaystyle \mbox{\boldmath$u$}$ $\displaystyle _i$

$\displaystyle =$

$\displaystyle \lambda_i$ $\displaystyle \mbox{\boldmath$u$}$ $\displaystyle _i (i=0,1,2)$

(19)

求めた固有値 $\lambda_i$ と固有ベクトルから，以下の式により，平均0，分散1になるように無相関化した画素値ベクトルを得る．

$\displaystyle \mbox{\boldmath$Y$}$ $\displaystyle [m,n]$

$\displaystyle \equiv$

$\displaystyle {\rm\Lambda}^{-{\frac{1}{2}}} {\rm U}^T($ $\displaystyle \mbox{\boldmath$y$}$ $\displaystyle [m,n]-$ $\displaystyle \mbox{\boldmath$\mu$}$ $\displaystyle _y)$

(20)

ここで， $\Lambda$ は固有値 $\lambda_i$ を対角とする行列， ${\rm U}$ は固有ベクトルを並べた行列，つまり

$\displaystyle \Lambda$	$\displaystyle \equiv$	$\displaystyle {\rm diagonal}(\lambda_0,\lambda_1,\lambda_2)$	(21)
$\displaystyle {\rm U}$	$\displaystyle \equiv$	$\displaystyle ($ $\displaystyle \mbox{\boldmath$u$}$ $\displaystyle _0,$ $\displaystyle \mbox{\boldmath$u$}$ $\displaystyle _1,$ $\displaystyle \mbox{\boldmath$u$}$ $\displaystyle _2)$	(22)

である．