2.2 部分空間法

**図 3:** ブロック分割
$\scalebox{0.6}{\includegraphics{image/subspace/KL.eps}}$

白色LEDと近紫外LEDを光源として撮影したそれぞれの画像に対し，RGB成分ごとに部分空間法を用いたテクスチャ構造の低減処理を行う．まず，白色LEDを光源として撮影した画像{ $x^{wh}[m,n]$ }を図3に示すように， $\frac{M}{K}$ $\times$ $\frac{N}{L}$ 画素ごとにK $\times$ L個のブロックに分割する．各画素を並べて， $\frac{M}{K}$ $\times$ $\frac{N}{L}$ 次元のブロック画像ベクトル $^{wh}[k,l]$ を構成する．また， $^{wh}[k,l]$ の平均ベクトル $\mu$ $^{wh}_x$ および自己共分散行列 ${\rm R}_x^{wh}$ を以下のように定義する．

$\displaystyle \mbox{\boldmath$\mu$}$ $\displaystyle ^{wh}_x$	$\displaystyle \equiv$	$\displaystyle \frac{1}{KL}\sum_{k=0}^{K-1}\sum_{l=0}^{L-1}$ $\displaystyle \mbox{\boldmath$x$}$ $\displaystyle ^{wh}[k,l]$	(7)
$\displaystyle {\rm R}_x^{wh}$	$\displaystyle \equiv$	$\displaystyle \frac{1}{KL}\sum_{k=0}^{K-1}\sum_{l=0}^{L-1}($ $\displaystyle \mbox{\boldmath$x$}$ $\displaystyle ^{wh}[k,l]-$ $\displaystyle \mbox{\boldmath$\mu$}$ $\displaystyle _x^{wh})($ $\displaystyle \mbox{\boldmath$x$}$ $\displaystyle ^{wh}[k,l]-$ $\displaystyle \mbox{\boldmath$\mu$}$ $\displaystyle ^{wh}_x)^T$	(8)

自己共分散行列 ${\rm R}^{wh}_x$ の固有値問題を解き，固有値 $\lambda_i^{wh}$ と固有ベクトル $_i^{wh}$ を求める．

$\displaystyle {\rm R}_x^{wh}$ $\displaystyle \mbox{\boldmath$u$}$ $\displaystyle _i^{wh}$

$\displaystyle =$

$\displaystyle \lambda_i^{wh}$ $\displaystyle \mbox{\boldmath$u$}$ $\displaystyle _i^{wh} (i=0,1,2,\cdots)$

(9)

ブロック画像ベクトル $^{wh}[k,l]$ を以下の式を用いて，次元の部分空間に射影し，近似ベクトル $\hat{\mbox{\boldmath $x$}}^{wh}[k,l]$ を得る．

$\displaystyle \hat{\mbox{\boldmath$x$}}^{wh}[k,l]$	$\displaystyle \equiv$	$\displaystyle \mbox{\boldmath$\mu$}$ $\displaystyle ^{wh}_x + \sum_{p=0}^{P-1}c_p$ $\displaystyle \mbox{\boldmath$u$}$ $\displaystyle _p^{wh}$	(10)
$\displaystyle c_p$	$\displaystyle =$	$\displaystyle ($ $\displaystyle \mbox{\boldmath$x$}$ $\displaystyle ^{wh}[k,l]-$ $\displaystyle \mbox{\boldmath$\mu$}$ $\displaystyle _x^{wh})^T$ $\displaystyle \mbox{\boldmath$u$}$ $\displaystyle _p^{wh}$	(11)

ここで，値の大きな固有値に対応する固有ベクトル $^{wh}_p$ は，画像{ $x^{wh}[m,n]$ }における平均的なテクスチャを表していると考えられる．したがって，以下の式で定義される近似誤差ベクトル $\tilde{\mbox{\boldmath $x$}}^{wh}[k,l]$ は，テクスチャ構造が低減された画像ベクトルであり，汚れ部分が強調された画像であると考えられる．

$\displaystyle \tilde{\mbox{\boldmath$x$}}^{wh}[k,l]$

$\displaystyle \equiv$

$\displaystyle \mbox{\boldmath$x$}$ $\displaystyle ^{wh}[k,l] - \hat{\mbox{\boldmath$x$}}^{wh}[k,l]$

(12)

近紫外LEDを光源として撮影した画像{ $x^{bl}[m,n]$ }に対しても同様の処理を行う．