2.3 スパースコーディング

図 4: ブロック分割

白色LEDと近紫外LEDを光源として撮影したそれぞれの画像に対し，RGB成分ごとにスパースコーディングを用いたテクスチャ構造の低減処理を行う．まず，白色LEDを光源として撮影した画像{ $x^{wh}[m,n]$}を図4に示すように， $\frac{M}{K}$$\times$ $\frac{N}{L}$画素ごとにK$\times$L個のブロックに分割する．この際，$k$,$l$番目のブロックの各画素を $x^{wh}_{k,l}[i,j]$と表す．スパースコーディングでは，$P$個のスパース(疎)な係数$a_p[k,l]$と画像の局所的な特徴を表す基底 $\phi_p[i,j]$を用いて各画素 $x^{wh}_{k,l}[i,j]$を次式で近似する．

$$\hat{x}^{wh}_{k,l}[i,j] = \sum_{p=0}^{P-1}a_p[k,l]\phi_p[i,j]$$ (13)

本手法では，係数$a_p[k,l]$と基底 $\phi_p[i,j]$を，次式に示す評価関数$J$の極小値を最急勾配法により探索することで求める．

$$J(\{\phi_p[i,j]\},\{a_p[k,l]\}) = \frac{1}{KL}\sum_{k=0}^{K-1}\sum_{l=0}^{L-1} \Biggl[\frac{KL}{MN}\sum_{i=0}^{M/K-1}\sum_{j=0}^{N/L-1} \Biggl\{ \mbox{\boldmath$x$} ^{wh}_{k,l}[i,j]$$

$$-\sum_{p=0}^{P-1}a_p[k,l]\phi_p[i,j] \Biggr\} ^2+\lambda\frac{1}{P}\sum_{p=0}^{P-1}\vert a_p[k,l]\vert \Biggr]$$ (14)

ここで，$\lambda$は，近似二乗誤差を表している第１項に対して，係数$a_p[k,l]$のスパース性の条件を表している第2項の重みを決定するパラメータである．係数$a_p[k,l]$と基底 $\phi_p[i,j]$は，以下のアルゴリズムにより反復的に求める．

1. $\phi_p[i,j]$の初期値を乱数により決定する．
2. $a_p[k,l]$の初期値を， $${\sum_{i,j}}x_{k,l}^{wh}[i,j]\phi_p[i,j]$$により決定する．
3. $a_p[k,l]$について勾配 $\frac{\partial J}{\partial a_p[k,l]}$を算出する．
4. $a_p[k,l]$についての更新係数 $\epsilon_1$を求める
   $\epsilon_1 = {\rm arg min}J\left(\{\phi_p[i,j]\},\biggl\{a_p[k,l]-\epsilon_1\frac{\partial J}{\partial a_p[k,l]}\biggr\} \right)$
5. $a_p[k,l]\gets a_p[k,l] - \epsilon_1\frac{\partial J}{\partial a_p[k,l]}$
6. $\phi_p[i,j]$について勾配 $\frac{\partial J}{\partial \phi_p[i,j]}$を算出する．
7. $\phi_p[i,j]$についての更新係数 $\epsilon_2$を求める
   $\epsilon_2 = {\rm arg min}J\left(\biggl\{\phi_p[i,j]-\epsilon_2\frac{\partial J}{\partial \phi_p[i,j]}\biggr\},\{a_p[k,l]\} \right)$
8. $\phi_p[i,j]\gets \phi_p[i,j]-\epsilon_2 \frac{\partial J}{\partial \phi_p[i,j]}$
9. $J$が収束していなければ，３．に戻る．

つぎに，求めた係数$a_p[k,l]$と基底 $\phi_p[i,j]$を用いて式(13)により $\hat{x}_{k.l}^{wh}[i,j]$を求め，次式により近似誤差 $\tilde{x}_{k,l}^{wh}[i,j]$を得る．

$$\tilde{x}^{wh}_{k,l}[i,j] = x^{wh}_{k,l}[i,j] - \hat{x}^{wh}_{k,l}[i,j]$$ (15)

近紫外LEDを光源として撮影した画像{ $x^{bl}[m,n]$}に対しても同様の処理を行う．